远在中古时代，人类社会就产生了自然数的概念，人们也因此创立了一个古老而漂亮的数学分支：数论。数论里面一个重要的概念就是素数，指的是那些只能被1和其自身整除的数，比如5、7、11、19等。
在数学的发展史上，素数占据着重要的位置，有很多关于素数的猜想，如哥德巴赫猜想，黎曼猜想等等。有一些猜想是比较容易解决的，如素数的个数是无穷的（证明方法见下一段），但是也有一些猜想直到今天还没有得到完美解决，下文将介绍一下孪生素数猜想猜想。
孪生素数的问题已经有约年的历史。在年的国际数学家大会上，希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。想了解这个问题的奇妙之处，需要大概了解素数的分布规律。
0多年前，古希腊数学家欧几里德最先证明了素数在自然数中有无穷多个。这个证明是数学爱好者都很熟悉的，英国数学家哈代在他的《一个数学家的辩白》中也对这个证明津津乐道。
01
孪生素数有一个十分精确的普遍公式：若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号（Q+2）的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的挛生素数。年，波林那克提出孪生素数猜想，即猜测存在无穷多对孪生素数。
年，波林那克提出孪生素数猜想，即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，和等等都是孪生素数。孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。哈代一李特尔伍德猜想是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。
孪生素数是有限个还是有无穷多个？这是一个至今都未解决的数学难题，一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研。
例如，人们发现素数的倒数和为无穷，这就意味着素数的分布比完全平方数要稠密。在法国数学家勒让德和德国数学家高斯的推动下，人们开始猜测素数的分布律接近x/ln(x)，即前x个整数中大约有x/ln(x)个素数。这一结果于年被两位数学家各自证明，此时距离勒让德的猜想提出已经有98年。
早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多个，许多迹象也越来越支持这个猜想，最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个时所采取的方法，设所有的素数的倒数和为：
S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…
如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数。但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大，由此说明素数有无穷多个。年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：
B=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+…
如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了。这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿。他证明了这个倒数和是一个有限数，现在这个常数就被称为布隆常数：B=1.…布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。
李生素数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：“若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号（Q+2）的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的孪生素数。这一句话可以用公式表达：
Q=plm1+b1=p2m2+b2…=pkmk+bk（1）
其中pl，p2，…，pk表示顺序素数2，3，5，…。b0，bpi-2。（即最小剩余不能是0和pi-2。不能是2m，3m，5m，…，pkm形，不能是3m+1，5m+
3，7m+5，…，pkm-2形）。若QP（2k+1）-2，则Q与Q+2是一对孪生素数。
例如，29，29和29+2不能被不大于根号（29+2）的任何素数2，3，5整除，29=2m+1=3m+2=5m+4，-2（即7的平方减2）所以29与29+2是一对孪生素数。
上式可以用同余式组表示：
Q=b1（modp1），Q=b2（modp2），…，Q=bk（modpk）（2）
由于（2）式的模pl，p2，…，pk两两互素，根据孙子（中国剩余）定理，对于给定的b值，（2）式在plp2…pk范围内有唯一的解。例如29，29=1
（mod2），29=2（mod3），29=4（mod5）。29小于7的平方减2，即49-2。所以29是一个素数。29在2×3×5=30范围内有唯一解。
例如，k=1时，Q=2m+1，解得Q=3和5，53的平方减2，得知3与3+2，5与5+2是两对孪生素数。从而得到了3至3的平方区间的全部孪生素数。
k=2时，Q=2m+1=3m+2。解得Q=5，11，17。的平方减2，得知11与11+
2，17与17+2是孪生素数对，从而得到5至5的平方区间的全部孪生素数。
k=3时，
∣-5m+1-∣-5m+2-∣-5m+4-∣
Q=2m+1=3m+2
=∣-11-，-41-；∣-17-1-29-∣
....
从而求得了7至7的平方区间的全部孪生素数对。
k=4时，解得：
∣-7m+1-∣-7m+2-1-7m+3-∣-7m+4-∣-7m+6-∣
Q=2m+1=3m+2=5m+1=∣--71--∣----∣----∣--11--∣--41--∣
Q=2m+1=3m+2=5m+2=∣----∣----∣--17--∣----∣----∣
Q=2m+1=3m+2=5m+4=∣--29--∣----∣--59--∣----∣----∣
....
求得了11至11平方区间的全部解。
仿此下去，可以求得任意给定的数以内的全部孪生素数，并且一个不漏地得到。注意，在k≥4时，利用表格，我们不需要通过计算，或者埃拉托塞尼筛法求得解，而是只要填写即可。表格的数字十分有规律。人类已经不依赖埃氏筛。可以通过组装或者克隆素数。这对大数密码是一个强烈的冲击。
由于b0，（1）、（2）式的本质就是从plp2p3…pk中筛去plm，p2m，…，pkm形的数k次；由于bpi-2，（1）、（2）式是从plp2p3…pk中筛去plm-2，p2m-2，p3m-2…，pkm-2形的数k次，共筛2k次。
孪生素数猜想就是要证明（1）式或者（2）式在k值任意大时都有小于p
（k+1）平方减2的解。利用（1）（2）式证明孪生素数猜想变得十分容易，希尔伯特等数学家都是这样认为的。
根据孙子定理得知，（1）、（2）式在plp2p3…pk范围内有：（2-1）x（3-2）×（5-2）x…×（pk-2）。（3）个解。
孪生素数的筛法就是在埃拉托塞尼的筛后再筛去pm-2型的数。
02
年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。
若用p（x）表示小于x的孪生素数对的个数，下表是1以下的孪生素数分布情况：
p（x）与x之间的关系是什么样的呢？年，英国数学家哈代和李特伍德提出一个数分布的猜想：
p（x）=2cx/（1nx）2其中，常数c=（1-1/22）（1-1/42）（1-1/62）（1-1/）…
即，对于每一个素数p，计算（1-1/（p-1）2），再相乘。经过计算得知c=
0.称为孪生素数常数，这个猜想如上所述有可能是正确的，但是至今也未获证明。
证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的，这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：
这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然孪生素数猜想如果成立，那么A必须等于0，因为孪生素数猜想表明pn+1-pn=2对无穷多个n成立，而1n（pn）→o，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合（从而对于整个素数集合也）趋于零。不过要注意△=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件。换句话说如果能证明△子0则孪生素数猜想就不成立，但证明A=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
对于A最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x，在x附近素数出现的概率为1/ln（x），这表明素数之间的平均间隔为1n
（x）（这也正是A的表达式中出现In（pn）的原因），从而（pn+1-pn）/ln（pn）
给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。
平均值为1，最小值显然是小于等于1，因此素数定理给出A≤1。
美国麦克阿瑟基金会在年度的麦克阿瑟奖（MacArthurFellows）授予21位获奖者，华人数学家张益唐因在孪生素数猜想方面的突出贡献获奖。
张益唐在《数学年刊》上发表的这篇题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个素数对（p,q），其中每一对中的素数之差，即p和q的距离，不超过七千万。
张益唐起到的作用就是把大海捞针的力气活缩短到在水塘里捞针，而他给出的方法还可以把水塘捞针轻松变为游泳池里捞针。也许最后变成在碗里捞针还需要一些再创新的工作。但给出了这一伟大框架已经是让全世界数学家瞠目结舌的壮举了。
张益唐在孪生素数上取得的突破让学术界感到震惊
实际上，在文章被公布于众后，短短的一个月以内，七千万就被菲尔茨奖获得者陶哲轩发起的网上讨论班缩小到六万多。
在过去的几年里，包括陶哲轩在内的数学家一直致力于缩减这个素数差值，目前的最好结果是，虽然无从知道是否有从缩减到2的那一天，但数学家们在越来越接近孪生素数猜想的最终解。
年9月7日，数学家WillSawin和MarkShusterman发布了一个证明，为孪生素数猜想的研究开辟了一条新的路径。
新的证明是在一个被称为有限数系统的设定探讨孪生素数猜想。在有限数系统中，可用的数字可能只有少数几个。这种数字系统被称为“有限域”，尽管这是一个很小的域，但它们却保有无限整数所拥有的许多数学性质。数学家一直试图在有限域上解决算术问题，然后再将结果转换成整数。
在对孪生素数猜想的研究陷入停滞期时，数学家们认为，若要彻底解决这个问题，就必须提出全新的方法，而有限数系统就是一个很好的选择。
03
“孪生素数猜想”与著名的“哥德巴赫猜想”是姐妹问题，它也是现代素数理论中的中心问题之一，谁能解决它（不论是证明或否定），必将成为名扬千古的历史人物。
“目前，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的最终解决都遇到很大瓶颈。”有学者表示，“孪生素数已有的最好结果是证明到。如果没有新的创新，无法将差值缩小到孪生素数猜想所需要的极致。
值得一提的是，不同于应用数学，纯数学研究不需要预先持有任何特定的实用目的。张益唐认为他的结果没有实用价值。
这不禁让人想起年时数学家哈代写道的：数学是最质朴和最冷峻的艺术和科学。他坚信数学要有精确的审美观，一个数学证明应该像简单而轮廓分明的星座，而不是银河系中杂乱无章的星群。
