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编者按：

数学家有个惊奇的发现，黎曼猜想如果成立，属于NP完全问题的素数判别和整数分解必存在多项式算法。而广义黎曼猜想通过相邻论已获存在性证明，11月4日的澎湃新闻发布过该论文《希尔伯特第八问题有望终结：黎曼猜想获证！》，有60万点击量，详细内容可查阅作者罗莫新出版的数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》（深圳：海天出版社）一书。可见NP完全问题与黎曼猜想紧密关联，且知黎曼猜想又是由互异版的哥德巴赫猜想在幕后操盘的。如果说物理学的前沿属于量子论和相对论的统一和细分，那数学前沿则是，离散量和连续量的统一和细分，连续统就是关心该问题的，而连续统的真正解决是和NP完全问题有千丝万缕关联的，即离散序列与非离散序列之间的映射问题。种种迹象表明，数学大统一的征兆来临。数论中最基本、最古老而当前仍然受到人们重规的问题就是判别给定的整数是否为素数(简称为素数判别或素性判别)和将大合数分解成素因子乘积(简称为整数分解)。数论与其它分支以及与物质世界各领域的联系，通过这些桥梁也就全部打通了。而本文要告诉读者的就是，“线性空间必有二维素数基底”的思想是如此的重要，它可以多米诺骨牌式地解决一系列久未解决的重大猜想，攻克整数分解和分割问题也是基于这样的思想。

素数规律是人类的加密解密工具，也是大自然的加密解密工具。

写在前面

素数的探索在历史上可以最早追溯到古希腊的欧几里得，他证明了素数有无穷多个；也可以更早追溯到古华夏伏羲时代阴阳互异的思想，无论多大的对象都可以阴阳互异分割，无论多小的对象也都可以阴阳互异分割，多组阴阳合并后仍然是一组阴阳，任意条双结绳文都能用一条双结绳文的标题表达。这与互异版哥德巴赫猜想极其相似，f(f(p+q))=p+q+2，可表偶数互素的生成对象依然是可表偶数，每次互素，但解集等价，而例外偶数，与解集互异，除每次互素，且须与每个可表偶数都累积互素，故为空集。可见任意后继多组阴阳都能被一组阴阳所刻画，没有例外，一组阴阳若不能刻画任意对象，那多组阴阳也不能刻画任意对象，即心外无物。天下苍生皆有一父一母，若无，即便多父多母也生养不出，阴阳学是世界的基底，可同态分割出小素数的大素数叫阳，与大素数局部同构的小素数叫阴，阴阳是两类和而不同的素数，阳，显示了相邻性，不同；阴，显示了重合性，不异。中国上古易文化的阴阳分割，不是可表偶数与例外偶数那样的完全互补分割，而是象大素数小素数那样的阴阳共存分割，如同女娲伏羲象征图那样蛇身连体。

阴阳互异同根思想是东方传统文化的基底，也是现代数学思想的基底。

中国古人虽没有对素数进行精准定义，但对素数进行了存在性使用，阴阳思想远高于2进制思想，它是底层基于2进制，又不限于2进制的体系，2进制仅是阴阳理论的一个基本应用，八卦就是单位元可以变化的2进制，阴爻阳爻是2进制，但上卦下卦是8进制，而前卦后卦则是64进制，即基底始终是二进制，而对基底的线性映射是完全开放的，基底是离散量，算子可以是任意连续量，高维线性空间必有二维素数基底，易经更符合离散数学的发展，难怪波尔是如此地推崇太极，即单位元不是唯一视角的，但都离不开二维素数基底。二维素数基底及其映射，量子力学把它叫着不相容关系，不确定关系，不对称关系。

素数问题曾经吸引了包括费马(Fermat)、欧拉(Euler)、勒让德(Legendre)和高斯(Gauss)在内的大批数学家，他们花费了大量的时间和精力去研究这个问题。高斯在其著名的《算术研究》(《DisquisitionesArithmeticae》)中称道：“把素数同合数鉴别开来及将合数分解成素因子乘积被认作为算术中最重要最有用的问题之一。如今拓扑学在向低维发展，代数几何在向算术几何发展，在向一个因子的素数靠拢，而合数则是多个因子的数，可以把素数理解成低维数，合数可以理解成高维数，图论和数论都在向低维挺进。一个高度有序的世界，必须要去关心更低维的对象和开放的算法，如此才能提高我们的分辨率。

高斯：科学的女王是数学，数学的女王是数论。

素数判别和整数分解这个问题具有很大的理论价值。因为素数在数论中占有特殊的地位，鉴别它们则成为最基本的问题；而把合数分解成素因子的乘积是算术基本定理的构造性方面的需要。人类总是有兴趣问如下的问题：(2^31)-1是否素数？由10个1组成的数是否为素数？3是素数吗？若不是又怎么分解。对素数判别和整数分解的研究必然会推动数学的整体发展，一个国家数学水平的高低，可以看圆周率发现到了哪一位，更可以看找到的最大素数有多少位。素数判别和整数分解不仅可应用在密码学中，宇宙和心灵世界中的一切探秘都跟素数规律有关，大自然的奥妙也是用素数加密的。

1.1.RSA加密技术需要探索素数的秘密

物质世界的保险箱可以用钥匙打开，也可以用暴力打开，思维世界的保险箱则需要时间成本和空间成本才能打开，时间成本和空间成本比暴力更难对付。基于时间复杂度，空间复杂度，加上陷门函数，于是就有了加密解密算法。RSA，ECC算法就是这么来的，区块链加密技术就基于椭圆曲线ECC算法，其原理都来自于分解分割带来不确定性而增加了复杂度，而握有密钥的解密者可消解不确定性。年，鲁梅利(Rumely)、希爱默(Shamir)和艾德利曼(Adleman)发明了一个公开密钥码体制，用他们名的首字母命名为RSA。在这个密码体制中，对电文的加密过程是公开的，但是，你仅知道加密过程而未被告知解密过程则不可能对电文进行解密。他们的体制就是依靠这样一个事实：我们能够很容易地将两个百位大素数乘起来；反过来，要分解一个位的整数则几乎不可能，超过位，计算机已经不能承受。

区块链的加密技术基于构造椭圆曲线方程具陷门函数性质。

也就是说，打碎镜子易，破镜重圆难，顺水行舟易，逆水行舟难，黑沙白沙混合易，黑沙白沙分开难。熵增易熵减难。这种顺向求解易反向求解难的函数，就叫陷门函数。因此RSA体制就与素数判别和大数分解有密切联系。首先，要具体建立一个RSA体制就需要两个大素数，因而就涉及到寻找大素数的问题；而RSA体制的破译之可能性就依赖于分解一个大数可能性。于是，RSA体制的建立与破译就等价于素数判别与大数分解问题。多元自变量较容易得到一元因变量，一元因变量不容易得到多元自变量。某分支出发找干道容易，干道出发找某分支难。而素数判别和整数分解就相当于如何最优化判别不能折叠和花样折叠问题，而不是定能折叠和单样折叠问题。突变的世界比均变的世界更有意思。

近来，由于计算机科学的发展，人们对许多数学分支的理论体系重新用计算的观点来讨论。从计算的观点来讨论数论问题形成了当前很活跃的分支计算数论。而素数判别和大数分解成为这一分支的重要组成部分。在这一部分里提出了两个重要的、悬而未决的问题：是否存在判别素数的多项式算法？是否存在分解大整数的多项式算法？已知道“分解整数”这个问题是一个NP完全问题，因此对上面第二个问题的讨论是解决计算机科学中的难题：“NP完全问题是否一定是多项式算法可解的？”的一个突破口。因此，素数判别和大数分解对计算机科学来说也是很有价值的。我们知道整数分割和整数分解是有密切关联的，整数分解是NP完全问题，同样整数分割也是NP完全问题。但随着哥德巴赫猜想的获证，整数分割问题说明存在多项式算法可完成该任务。而分割问题是与分解问题紧密关联的。

这是一个千禧年七大猜想之一的难题，它关联的是一个共同的卡点，这个卡点就是“能否理解心外无物”。

历史上解决该类问题基本靠暴力枚举。最直接的素数判别和大数分解方法就是试除法，即对整数n，用2，…，n-1去试除，来判定n是否素数，分解式如何。这个方法是最简单的一个方法，古希腊时就被人所知，但这个方法对较大的数就要耗费很多时间。在本世纪四十年代电子计算机出现之前，尽管产生了许多素数判别和大数分解方法，但因为用手算，速度太慢，很多方法在实用中即使对十几位的数也需要好几天，而对更大的数就无能为力了。随着计算机的出现及发展，人们开始用这个有力的工具来研究素数判别和大数分解。但在算法上一直没有什么较大的突破。

到六十年代末期，已产生了许多新方法，历史上的许多方法也得到了应用，使得对四十几位数的素数判别可以很快得到结果。而到七十年代末，数论学家和计算机专家们已深入地研究了这个问题，得到许多实际有效的方法。用这些方法在较好的计算机上判别一个位数是否素数只需不到一分钟；分解70位左右的整数也是日常工作了。这些成果已引起人们的普遍