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金融衍生品系列：第一篇：金融衍生品之远期合约/期货Forward/Futures（一）第二篇：金融衍生品之远期合约/期货Forward/Futures（二）第三篇：金融衍生品之掉期合约Swap（三）第四篇：金融衍生品之期权Options（四）第五篇：金融衍生品之期权Options（五）——BinomialTrees第六篇：金融衍生品之期权Options（六）——Black-Scholes-Merton模型3.9、TheGreekLetters本章节打算介绍几个期权中的重要参数，因为这些参数都用希腊字母表示，所以这一章节的标题为——希腊字母（TheGreekLetters），有时候也简称为Geeks。这里会涉及到的希腊字母有：Delta（

）、Gamma（

）、Vega、Theta（

）、Rho。3.9.1、Delta3.9.1.1、什么是Delta回忆3.8.1、BinomialTrees，就提及过Delta（

），当时构建了一个投资组合（Portfolio），其中股票的份数就是

。并且我们得到了

的计算公式：

当考虑一个连续情况时，Delta（

）其实反映的就是：标的资产价格的变化，所引起相应期权价格的变化情况，假如这里的标的资产为股票，即：股票价格的变化，所引起股票期权价格的变化的量化结果。也可以这么理解，是股票期权价格对股票价格的曲线的斜率（如图44所示）。图44斜率问题，其实就是函数的一阶导数。以欧式看涨期权（EuropeanCallOptions）为例，根据之前Black-Scholes-Merton模型，得到：

结合3.8.2.3和这里的

，可以很清晰地发现，Black-Scholes-Merton模型中的

与

都是有其特殊意义的，而不是一个冰冷冷的数字。以欧式看涨期权为例，在不存在任何形式分红的欧式看涨期权中，

：即

，表示股票价格对其期权价格的影响，或者说，每当市场上的股价变动一元钱，其股权相应变动多少钱；

：表示一个欧式看涨期权会执行的概率有多大，即：

的概率有多大。

回到

，因为欧式看涨期权的

，所以

的取值范围为：

。同理，可以得到不存在任何形式分红的欧式看跌期权（EuropeanPutOptions）的

值，即：其

的取值范围为：

。另外，标的资产，或者具体说股票也是有

值，其

，也很好理解，因为这是两种相同的金融商品，所以变化率是一样的。（这一点需要提醒的原因是，在之后构建投资组合时，需要用到这一特性。）另外，对于一个投资组合（Portfolio）的

值，就是组成其投资组合的所有金融资产的加权平均数，即：

3.9.1.2、Delta对冲Delta对冲（DeltaHedging或DeltaNeutral），用一句话来形容，就是令投资组合的Delta值为零，即：

。当然对种策略还分为：静态对冲（StaticHedging）和动态对冲（DynamicHedging）。静态对冲（StaticHedging），即：设定好投资组合各部分的比重，令其组合的初始Delta值为零，之后便不再做任何调整。但是，根据3.9.1.1中的内容，可以得到，当标的资产的价格改变之后，其对应的Delta值也是变化的，市场上的价格是不断变化的，所以采用静态对冲，只能保证一开始的Delta值为零，但是之后Delta值就一直变化，这样对于投资者的风险，是无法得到很好的对冲，故此就运用动态对冲（DynamicHedging）。动态对冲（DynamicHedging），即：根据市场上标的资产的价格，而变动的Delta值，随时调整投资组合的组成部分，令投资组合的Delta值尽量一直维持为零，调整的时间根据投资者而具体定。3.9.2、Gamma第二个要介绍的参数：Gamma（

），是指当标的资产价格变化，其对应期权的Delta值变化量。通俗的可以这样理解，当一个标的资产的Gamma值越大，当其市场价格变化一单位，其期权价格变动幅度的大小。代表的是一种曲率（Curvature）。用数学公式表示为：

或者

Gamma值在At-the-money时，即：在执行价格

时，数值最大；图45：Gamma标的资产的Gamma值为0，换言之，介绍过的几种金融衍生品工具中，只有期权有Gamma值。一般组建投资组合时，会使其Gamma值为0，即：GammaNeutral。3.9.3、Theta另一个需要介绍的参数为：Theta（

），其衡量的是已经过去的时间（PassageofTime）与期权价值的关系。用数学公式表示为：

通常Theta的值为负数。（附：Theta的首字母和时间Time的首字母，一样，都是T。）3.9.4、Delta、GammaTheta此时，回忆在3.8.2.3中，得到的Black-Scholes-Merton模型的PDE形式，即：其中：其中，

所以，Black-Scholes-Merton模型的PDE形式可以写为：

3.9.5、Vega下一个参数是：Vega，这个参数衡量的是标的资产的波动率（Volatility，

）对其期权价值的影响。与Gamma相同，在介绍过的金融衍生品中，只有期权有Vega值，标的资产的Vega值为0.3.9.6、Rho最后一个参数：Rho，衡量的是利率与期权价值之间的关系。3.9.7、例题用一个例题来阐述如何使用Delta、Gamma和Vega构建投资组合。DeltaGammaVegaPortfolio0--Option10.60.52.0Option20.50.81.2例题一：假如只用Option1和Stocks，如何使投资组合达到Delta和Gammaneutral？解：第一步：先用Option1使投资组合达到Gammaneutral

即：需要Longoptions。第二步：再用Stock（Underlyingasset）使投资组合达到Deltaneutral

即：需要ShortStocks。综上所述，需要Longoption1，ShortStocks。例题二、假如只用Option1和Stocks，如何使投资组合达到Delta和Veganeutral？这里的过程与例题一一样，只不过是把Gamma换成Vega。第一步：先用Option1使投资组合达到Veganeutral

第二步：再用Stock（Underlyingasset）使投资组合达到Deltaneutral

综上所述，需要Longoption1，ShortStocks。例题三、用Option1、Option2和Stocks，如何使投资组合达到Delta、Gamma和Veganeutral？解：第一步：先用Option1和Option2使投资组合达到Gamma和Veganeutral第二步：再用Stock（Underlyingasset）使投资组合达到Deltaneutral

综上所述，需要LongOption1，LongOption2，ShortStocks。3.9.8、假如标的资产有收益率与之前的方法一样，假设收益率为：

，则：用

替代

。以Delta为例：

标的资产没有收益率时，

；

标的资产有收益率

时，

。

3.9.9、写在最后的话《金融衍生品》系列一共有七篇，涵盖期货（Futures）、远期合约（Forward）、掉期合约（Swap）、期权（Options）等四种金融产品的基础知识。完成该系列，很大程度上是因为年三月底上海突发疫情，被封控在屋内，故此找点事情做，以让时间过的有自我认为的意义。最后，希望上海能早日走出疫情，恢复正常的生活，上海加油！也欢迎朋友们对内容批评、指正，共同讨论、交流。欢迎